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RESUMO

Propriedades ambientais são dados importantes para modelagens desenvolvidas em ambiente de Sistemas de Informação Geográfica. As técnicas geoestatísticas de inferência, conhecidas por krigeagem, consideram os atributos ambientais como variáveis aleatórias o que possibilita a modelagem das incertezas associadas às inferências. Neste contexto, o presente trabalho explora o uso da técnica de krigeagem não linear, a krigeagem por indicação, para inferências a partir de amostras observadas pontualmente. O trabalho apresenta, também, alternativas de cálculos de incertezas para propriedades ambientais de natureza numérica e temática. Por fim, o trabalho mostra e analisa os resultados da aplicação da krigeagem por indicação sobre amostras de textura de solo.

ABSTRACT

Environmental properties are very important data for spatial modelling in the Geographical Information Systems context. The geostatistical techniques for estimation, named kriging, consider the environmental attributes as random variables allowing the inference of uncertainties related to the estimated values. This article explores the nonlinear kriging technique, the indicator kriging, to estimate values from a set of sample point data. Also, alternatives for uncertainty assessment for numerical and thematic environmental properties are presented. Finally, this works shows and analyzes the results obtained when the indicator kriging approach is used with soil texture samples.

As amostras pontuais formam um subconjunto limitado em relação à quantidade de posições e valores possíveis dentro de uma área de interesse. Para se obter valores em posições não amostradas utilizam-se algoritmos inferênciais que se baseiam no conjunto amostral disponível. Os SIGs atuais incorporam vários algoritmos de inferência para espacializar propriedades segundo uma estrutura de grade regularmente distribuída no espaço. Entretanto, raramente essa espacialização é acompanhada de informações sobre a qualidade do dado gerado. Informação sobre a qualidade de um produto é valiosa para apoiar decisões baseadas no mesmo.

As técnicas geoestatísticas de inferência, conhecidas por krigeagem, consideram os atributos ambientais como variáveis aleatórias o que possibilita a modelagem das incertezas associadas às inferências. Essas técnicas têm sido utilizadas, com frequência, para espacialização de atributo ambientais amostrados pontualmente (Oliver, 1990 e Camargo, 1997). A krigeagem é um estimador de média ponderada local que utiliza o critério de minimização da variância de estimação para definir os pesos associados a cada amostra considerada. Além disso, esse critério permite a criação de um mapa de incertezas de estimação associado ao mapa de atributos espacializados. Estas são as principais vantagens do interpolador de krigeagem em relação a outros interpoladores de média ponderada, cujos ponderadores são, em geral, definidos por paradigmas subjetivos. Porém as variâncias de krigeagem estão relacionadas a distribuição espacial das amostras e não informam sobre a variabilidade do atributo na região de interesse ( Deutsch, 1998).

A técnica de inferência conhecida como krigeagem por indicação, que é uma técnica de inferência estatística não linear, permite a estimativa dos valores, e também das incertezas associadas ao atributo, durante o processo de espacialização de uma propriedade amostrada. Essa técnica baseia-se na premissa de que a propriedade em estudo é considerada uma variável aleatória em cada posição não amostrada. As inferências dos valores e das incertezas são obtidos a partir da construção da função de distribuição acumulada, condicionada aos dados amostrados, de cada variável aleatória.

Nesse contexto, os objetivos desse trabalho são: explorar o potencial da krigeagem por indicação para espacialização de propriedades ambientais representadas por amostras pontuais; apresentar alternativas para cálculos de incertezas para variáveis aleatórias e; mostrar resultados da utilização da krigeagem por indicação para propriedades ambientais de natureza temática.

O presente trabalho contém, após a introdução, uma seção conceitual para formalizar as técnicas de krigeagem e krigeagem por indicação. Nessa seção também são apresentadas alternativas para cálculo de incertezas baseadas na distribuição dos valores de probabilidades associados à variáveis aleatórias numéricas e temáticas. Na sequência apresenta-se um exemplo onde se explora a técnica de krigeagem por indicação sobre um conjunto amostral representativo de classes de textura de solo. Finalmente o trabalho contém uma seção de análise dos resultados obtidos, no exemplo, e uma seção final de conclusões.

A F(u; z|(n)) modela a incerteza sobre os valores de z(u), em posições u não amostradas, considerando-se as n amostras. Esta seção formaliza os conceitos relacionados aos estimadores geoestatísticos de krigeagem e de krigeagem por indicação. Também são apresentadas alternativas para o cálculo de incertezas associadas aos atributos inferidos pelo método de krigeagem por indicação.

Pode-se mostrar que a formulação do estimador de krigeagem ordinária é equivalente a uma krigeagem simples com médias estimadas localmente a partir das amostras vizinhas, Deutsch, 1998. A substituição de uma única média estacionária por médias locais, ou tendências locais, faz do estimador de krigeagem ordinária uma opção bem mais interessante do que o estimador de krigeagem simples. Existem outros tipos de krigeagem linear, tais como a krigeagem universal, a krigeagem disjuntiva, a krigeagem probabilística, etc., porém estão fora do escopo deste trabalho.

onde s ² = C(h=0) é a variância do atributo e determina o quão errático é o atributo. As covariâncias C(u_a , u_b ) consideram aglomerados de amostras e aumentam a variância s _O² sempre que as amostras estão próximas entre si. A variância s _O² diminui com o aumento da covariância C(u, u_a ), ou seja, com a proximidade da amostra em relação à posição u.

Observa-se assim que o valor de variância de krigeagem está relacionada a distribuição espacial das amostras, e não depende diretamente dos valores do atributo. Deutsch, 1998, argumenta que "as variâncias de krigeagem, sendo independentes dos dados, fornecem apenas uma comparação entre diferentes configurações geométricas de dados".

Portanto a variância de krigeagem não pode ser usada como medida de incerteza do atributo em análise a não ser que o atributo possa ser modelado por uma função aleatória multigaussiana. Essa premissa é difícil de ser verificada e raramente ocorre para atributos ambientais. Na seção seguinte descreve-se a krigeagem por indicação que possibilita a estimativa de incertezas sem a necessidade de se definir um modelo de distribuição de probabilidade a priori.

Os valores de corte, z_k, k=1,2...,K, são definidos em função do número de amostras. É necessário que a quantidade de amostras codificadas com valor 1 seja suficiente para se definir, com sucesso, um modelo de variografia para cada valor de corte (Journel, 1983).

A equação acima representa um resultado muito importante no que diz respeito a inferência da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória: "A esperança condicional de I(u; z_k) fornece, para o valor de corte z = z_k , uma estimativa do valor da função de distribuição condicionada, fdc, de Z(u) no caso de atributos temáticos e uma estimativa da função de distribuição acumulada condicionada, fdac, para atributos numéricos".

onde F_S*(z_k) é a média da função aleatória da região estacionária e os pesos l _Sa (u; z_k) são determinados com o objetivo de minimizar a variância do erro de estimação.

onde m (u; z_k) é um parâmetro de Lagrange, h_{a b} é o vetor definido entre posições u_a e u_{b ,} h_a é o vetor definido entre posições u_a e u_, C_I(h_{a b} ; z_k) é a autocovariância definida por h_{a b} e C_I(h_a ; z_k) é a autocovariância definida por h_a . As autocovariâncias são determinadas pelo modelo de variografia teórico definido pelo conjunto I quando z = z_k.

A krigeagem por indicação, simples ou ordinária, fornece, para cada valor k de corte, uma estimativa que é também a melhor estimativa mínima quadrática da esperança condicional da VA I(u; z_k). Utilizando esta propriedade pode-se calcular estimativas dos valores da fdc de Z(u) para vários valores de z_k, pertencentes ao domínio de Z(u). O conjunto dos valores estimados para das fdc’s de Z(u), nos valores de corte, é considerado uma aproximação discretizada da fdc real de Z(u). Quanto maior a quantidade de valores de corte melhor é a aproximação.

A krigeagem por indicação é não paramétrica. Não considera nenhum tipo de distribuição de probabilidade a priori para a variável aleatória. Ao invés disso, ela possibilita a construção de uma aproximação discretizada da fdc de Z(u). Os valores de probabilidades discretizados podem ser usados diretamente para se estimar valores característicos da distribuição, tais como: valor médio, variância, moda, quantis e outros.

Para variáveis aleatórias temáticas estimam-se as probabilidades univariadas p_j(u), j=1,...,L, das L classes definidas no domínio da VA. Essas probabilidades são utilizadas para inferência do valor, ou da classe, e da incerteza da VA na localização u não amostrada. O valor estimado para a VA temática é a classe de maior probabilidade. A incerteza em u, Inc(u), pode ser determinada pelo valor de máxima probabilidade, incerteza por moda, ou por uma combinação dos valores de probabilidades das L classes, incerteza por entropia.

onde p_jmax(u) é a probabilidade da classe mais provável da função de distribuição de probabilidade em u, ou seja, , p_jmax(u) = Max (p_j(u)) j=1,...,L,

As amostras de textura foram analisadas, utilizando-se o módulo de análise geoestatístico do sistema de informação geográfica SPRING (INPE/DPI, 1999, Câmara, 1996 e Camargo, 1997), com o objetivo de se obter o modelo de variografia representativo do atributo textura do solo. Essa análise mostrou um comportamento anisotrópico para a textura do solo nessa região. A partir das frequências das classes no conjunto amostral, as probabilidades globais, a priori, das classes de textura foram definidas como: P(1) = 0.2, P(2) = 0.34, P(3) = 0.38 e P(4) = 0.08.

Foram definidos 4 conjuntos de variáveis por indicação referentes às 4 classes de textura do solo. Para cada um desses conjuntos definiu-se um variograma experimental. Os parâmetros dos modelos de variografia teóricos, ajustados para os variogramas experimentais, estão apresentados na tabela 3.1.

Utilizando-se o conjunto amostral, os modelos teóricos de variografia e o programa de krigeagem por indicação da GSLIB, ik3d.exe, geraram-se grades regulares de 200 linhas por 200 colunas com resolução horizontal, dx, igual a 35 metros e resolução vertical, dy, igual a 50 metros. O retângulo envolvente, em coordenadas UTM e datum SAD69, da área em estudo foi definido como: xmin = 204000.0, xmax = 211000.0, ymin = 7565000.0 e ymax = 7575000.0.

A tabela 3.2 apresenta os valores mínimo, máximo, médio e a variância dos mapas de incerteza, por moda e por entropia, para valores máximos de pontos condicionantes iguais a 4, 8, 12 e 16.

Os resultados, mapas e tabelas, apresentados nesta seção serão analisados na seção 3.2.

Os mapas de valores estimados por krigeagem por indicação, apresentados na seção 3.1, mostram que pode-se aplicar com sucesso esse procedimento estocástico de inferência para espacializar atributos de natureza temática. Essa técnica é equivalente a uma classificação que utiliza apenas amostras pontuais como informação a priori. Isto não é um resultado trivial já que os estimadores determinísticos baseados em médias locais das amostras só podem ser aplicados à atributos numéricos.

A Figura 3.2 ilustra as diferenças existentes entre o mapa de incertezas por moda e o mapa de incertezas por entropia. As diferenças são mais aparentes nas regiões onde várias classes se confundem. Isto já era um resultado esperado, uma vez que, nestas regiões a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias está mais próxima de uma distribuição uniforme. Nessas áreas a incerteza por entropia tem seus valores maximizados. A incerteza por moda mostra um aumento de incerteza a partir do parte central de uma classe em direção as bordas de transição. Os valores máximos de incerteza por moda aparecem nas bordas entre as classes e não tem influência do número de classes próximos as bordas.

As Figuras 3.1 e 3.3 mostram que o estimador de krigeagem por indicação gera mapas de valores inferidos que apresentam diferenças entre si. Isto mostra uma dependência do estimador em relação ao número máximo de pontos condicionantes definidos para cada procedimento. A medida que se aumenta o número de pontos condicionantes o mapa resultante da espacialização tende a ter menor variabilidade do atributo, ou seja, a superfície gerada é mais suave. Qualitativamente essas diferenças não são muito pronunciadas pois os mapas resultantes mantém uma certa tendência para cada região classificada.

Comparando-se os mapas de incerteza por moda, apresentados nas figuras 3.2 e 3.4, observa-se que o número de pontos condicionantes também influencia os valores de incertezas estimados. Nos mapas de incertezas as diferenças são bem mais pronunciadas do que nos mapas de valor estimado. A tabela 3.2 apresenta, quantitativamente, esse resultado. Observa-se, desta tabela, que os valores médios da incerteza aumentam com o número de pontos condicionantes. Em contrapartida as variâncias das incertezas diminuem, com o aumento dos pontos condicionantes, caracterizando superfícies de incertezas com variabilidade mais suave.

Este trabalho mostra o potencial da técnica de krigeagem não linear para inferência dos valores e estimativa de incertezas na espacialização de propriedades ambientais amostradas pontualmente. Os resultados obtidos no exemplo mostram que a técnica se aplica com sucesso para propriedades ambientais de natureza temática. Essa técnica se aplica também à propriedades numéricas que são, em geral, tratadas após uma discretização de seu comportamento.

O trabalho apresenta, ainda, diferentes alternativas para estimativa dos mapas de incertezas. Os mapas de incerteza fornecem informação sobre a qualidade dos mapas inferidos. Essas incertezas são propagadas em modelagens ambientais que utilizam o atributo ambiental espacializado como dado de entrada. O mapa final, produto da modelagem, deve ser acompanhado do mapa de incerteza propagado que fornece informação quantitativa sobre os riscos assumidos ao se tomar decisões apoiadas nos produtos inferidos. Infelizmente as incertezas raramente são incorporadas aos produtos gerados pelos SIGs atualmente em uso. Espera-se que, com aumento da conscientização sobre a importância da qualidade da informação, os dados de incerteza passem a fazer parte dos requisitos básicos para projetos de modelagens espaciais desenvolvidas segundo a filosofia de um SIG. Este trabalho é uma contribuição nessa direção.