SPRING - Geoestatística

Geoestatística

Esta página apresenta os principais conceitos para compreensão a manipulação do módulo de geoestatística do SPRING. Os tópicos apresentados aqui são:

Variáveis regionalizadas - hipóteses consideradas e características
Variograma

parâmetros do semivariograma, estimador do variograma a partir de amostras regular e irregularmente espaçadas
modelos teóricos de ajuste para o variograma experimental
anisotropia.

Métodos de estimação de krigeagem

Krigeagem Simples (KS)
Krigeagem Ordinária (KO).

As definições e convenções aqui adotadas seguem os padrões da geoestatística, isto é, funções e variáveis aleatórias são denotadas com caracteres maiúsculos (exemplo: Z(x) e Z), valores observados são representados por caracteres minúsculos (exemplo: valor da variável aleatória Z medido na posição x_k é z(x_k) ) e vetores são realçados em negrito (exemplo: {z(x_i), i = 1, ..., n}, onde x_i identifica uma posição em duas dimensões representada pelos pares de coordenadas (x_i , y_i) ).

Veja como executar:

Sequência de Procedimentos no SPRING

Análise Exploratória
Análise Espacial por Semivariograma
Ajuste do Semivariograma
Validação do Modelo
Krigeagem

Consulte também:
Análise Espacial no SPRING
Modelagem Numérica de Terreno
Edição vetorial

VARIÁVEIS REGIONALIZADAS

A variabilidade espacial de algumas características do solo vem sendo uma das preocupações de pesquisadores praticamente desde o início do século. Smith (1910) estudou a disposição de parcelas no campo em experimentos de rendimento de variedades de milho, numa tentativa de eliminar o efeito de variações do solo. Montgomery (1913), preocupado com o efeito do nitrogênio no rendimento do trigo, fez um experimento em 224 parcelas, medindo o rendimento de grãos. Vários outros autores, como Waynick e Sharp (1919), também estudaram variações de nitrogênio e o carbono no solo.

Os procedimentos usados na época baseavam-se na estatística clássica e utilizavam grandes quantidades de dados amostrais, visando caracterizar ou descrever a distribuição espacial da característica em estudo. Por estatística clássica entende-se aquela que se utiliza de parâmetros como média e desvio padrão para representar um fenômeno e se baseia na hipótese principal de que as variações de um local para outro são aleatórias.

Krige (1951), trabalhando com dados de concentração de ouro, concluiu que somente a informação dada pela variância seria insuficiente para explicar o fenômeno em estudo. Para tal, seria necessário levar em consideração a distância entre as observações. A partir daí surge o conceito da geoestatística, que leva em consideração a localização geográfica e a dependência espacial.

Matheron (1963, 1971), baseado nas observações de Krige, desenvolveu a teoria das variáveis regionalizadas, a partir dos fundamentos da geoestatística.

Segundo Blais e Carlier (1968), citados por Olea (1975), uma variável regionalizada é uma função numérica com distribuição espacial, que varia de um ponto a outro com continuidade aparente, mas cujas variações não podem ser representadas por uma função matemática simples.

A teoria das variáveis regionalizadas pressupõe que a variação de uma variável pode ser expressa pela soma de três componentes (Burrough, 1987): a) uma componente estrutural, associada a um valor médio constante ou a uma tendência constante; b) uma componente aleatória, espacialmente correlacionada; e c) um ruído aleatório ou erro residual.

Se x representa uma posição em uma, duas ou três dimensões, então o valor da variável Z, em x, é dada por (Burrough, 1987):

Z(x) = m(x) + e ¢ (x) + e ² (2.1)

onde:

m(x) é uma função determinística que descreve a componente estrutural de Z em x;

Se x representa uma posição em uma, duas ou três dimensões, então o valor da variável Z, em x, é dada por (Burrough, 1987):

Z(x) = m(x) + e ¢ (x) + e ² (1)

onde:

m(x) é uma função determinística que descreve a componente estrutural de Z em x;

e ¢ (x) é um termo estocástico, que varia localmente e depende espacialmente de m(x);

e ² é um ruído aleatório não correlacionado, com distribuição normal com média zero e variância s ².

A Figura abaixo ilustra as três componentes principais da variação espacial. A parte (a) apresenta uma componente determinística que varia abruptamente, enquanto a componente determinística na parte (b) apresenta uma tendência constante.

Figs. (a) e (b) - Principais componentes da variação espacial.
FONTE: Modificada de Burrough (1987), p. 155.

HIPÓTESES CONSIDERADAS

Diferente dos métodos convencionais de estimação, a krigeagem está fundamentada na teoria das variáveis regionalizadas. O primeiro passo na krigeagem é definir uma função apropriada para a componente determinística m(x). Para tanto, algumas hipóteses são necessárias (Burrough, 1987 e David, 1977):

Hipótese de Estacionariedade de 2^a Ordem

Sob esta hipótese, admite-se que a componente determinística, m(x), é constante (não há tendências na região). Então, m(x) é igual ao valor esperado da variável aleatória Z na posição x, e a diferença média entre os valores observados em, x e x+h, separados por um vetor de distância h (módulo e direção) é nula.

E[Z(x) - Z(x+h)] = 0 ou E[Z(x)] = E[Z(x+h)] = m(x) = m (2)

onde

E representa o operador esperança matemática.

Admite-se também que a covariância entre os pares Z(x) e Z(x+h),

separados por um vetor distância h, existe e depende somente de h. Então:

C(h) = Cov [Z(x), Z(x+h)] =

= E[(Z(x)-m).(Z(x+h)- m)] = E[Z(x).Z(x+h)]-m², " x; (3)

onde

Cov [Z(x), Z(x+h)] é a covariância entre Z(x) e Z(x+h).

Na Equação (3), estacionariedade da covariância implica na estacionariedade da variância:

Var[Z(x)] = E{[Z(x)- m]²} = E[Z²(x)] - 2.E[Z(x)].m + m²=

= E[Z(x).Z(x+0)] - 2m²+ m²=

= E[Z(x).Z(x+0)] - m²= C(0), " x. (4)

onde

Var é o operador variância.

A estacionariedade da covariância também implica na estacionariedade do

variograma , definido por:

2g (h) = E{[Z(x)-Z(x+h)]2} (5)

A Equação (5) pode ser desenvolvida em:

2g (h) = E{Z²(x) - 2 Z(x)Z(x+h) + Z²(x+h)}

= E[Z²(x)] - 2E[Z(x)Z(x+h)] + E[Z²(x+h)] (6)

Da Equação (3) obtem-se:

E[Z(x)Z(x+h)] = C(h) + m² (7)

De maneira análoga, da Equação (4) obtem-se:

E[Z(x).Z(x+0)] = E[Z²(x)] = C(0) + m² (8)

Substituindo as equações (7) e (8) na Equação (6), obtem-se:

2g (h) = C(0) + m² - 2 (C(h) + m²) + C(0) + m² =

= 2 C(0) - 2 C(h) (9)

Simplificando a Equação (9), obtem-se:

g (h) = C(0) - C(h) (10)

onde:

g (h) representa uma função conhecida na teoria das variáveis regionalizadas como semivariograma, que é metade do variograma. Veja discusão sobre variograma.

A relação em (10) indica que sob a hipótese de estacionariedade de 2^a ordem, a covariância e o semivariograma são formas alternativas de caracterizar a autocorrelação dos pares Z(x) e Z(x+h) separados pelo vetor h.

A hipótese de estacionariedade de 2^a ordem supõe a existência de uma covariância e, então, de uma variância finita (Equação 4). Sob esta condição, o correlograma, r (h), pode ser definido. Dividindo ambos os lados da Equação (10) por C(0), tem-se:

r (h) = = 1- (11)

As restrições impostas à estacionariedade de 2^a Ordem, isto é, admitida $ C(h) Þ $ Var[Z(x)] = C(0) e também Þ $ g (h), podem não ser satisfeitas para alguns fenômenos físicos que apresentam uma capacidade infinita de dispersão (David, 1977). Capacidade infinita de dispersão Þ C(h), Var[Z(x)]; porém, pode existir g (h). Para tais situações, uma hipótese menos restritiva, a hipótese intrínseca, pode ser aplicável.

Hipótese de Estacionariedade Intrínseca

De modo análogo à hipótese anterior, admite-se que E[Z(x)] = m(x) = m,

" x. Além disso, admite-se que a variância das diferenças depende somente

do vetor distância h, isto é:

Var[Z(x) - Z(x+h)] = E{[Z(x)-Z(x+h)]²} = 2g (h) , (12)

onde

2g (h) é conforme apresentado anteriormente.

Segundo David (1977), esta hipótese é a mais freqüente em geoestatística, principalmente por ser a menos restritiva. Isto é, requer apenas a existência e estacionariedade do variograma, sem nenhuma restrição quanto à existência de variância finita.

Uma consideração adicional, que transcende a abrangência deste trabalho, refere-se às hipóteses da Krigeagem Universal (David, 1977). Neste caso, m(x) é o "drift" (tendência principal) e supõe-se que C(h) e g (h) possuem estacionariedade dentro de uma vizinhança de tamanho restrito. Além disso, supõe-se que E[Z(x)] = m(x), a qual não é mais estacionária, varia de modo regular dentro de tal vizinhança. Segundo David (1977), não somente a covariância e o variograma são definidos a partir de valores experimentais, mas também o tamanho da vizinhança onde as hipóteses se mantem válidas. Trabalhos neste assunto podem ser encontrados em Olea (1975, 1977) e um exemplo de aplicação pode ser visto em Burgess e Webster (1980c).

Neste trabalho pressupõe-se a estacionariedade de 2^a ordem (Þ hipótese intrínseca), a qual é suficiente para a utilização dos métodos de estimação de krigeagem simples (KS) e krigeagem ordinária (KO), a serem descritos nas respectivamente.

CARACTERÍSTICAS DAS VARIÁVEIS REGIONALIZADAS

Segundo Olea (1975, 1977), as principais características de uma variável regionalizada são:

Localização: uma variável regionalizada é numericamente definida por um valor, o qual está associado a uma amostra de tamanho, forma e orientação específicos. Essas características geométricas da amostra são denominadas suporte geométrico. O suporte geométrico não necessariamente compreende volumes, podendo se referir também a áreas e linhas. Quando o suporte geométrico tende a zero, tem-se um ponto ou amostra pontual e o suporte geométrico é imaterial. Exemplo: para estudar a variação da saturação d’água no solo, são coletadas amostras de 10cm³. A variável regionalizada é a umidade do solo e o suporte geométrico é o volume da amostra (10cm³). Note que, neste experimento, o conteúdo d’água no solo depende não somente da localização da amostra mas também de seu tamanho, forma e orientação. Uma amostra de forma cilíndrica e longa, tomada na vertical, contém mais água que uma amostra de mesmo tamanho e forma tomada na direção horizontal em relação à superfície do solo. Se o volume da amostra for 10m³ ao contrário de 10cm³, o resultado também será diferente. Resumindo, a teoria das variáveis regionalizadas considera a geometria das amostras, distintamente da estatística clássica onde a forma, o tamanho e a orientação não são considerados. Um experimento estatístico clássico como o lançamento de moedas têm resultados que são independentes se a moeda é grande ou pequena, leve ou pesada, e de como é lançada.

Anisotropia: algumas variáveis regionalizadas são anisotrópicas, isto é, apresentam variações graduais numa direção e rápidas ou irregulares em outra.

Continuidade: dependendo do fenômeno sendo observado, a variação espacial de uma variável regionalizada pode ser grande ou pequena. Apesar da complexidade das flutuações, uma continuidade média geralmente está presente. Esta continuidade é exemplificada por Olea (1975) em um caso hipotético, onde amostras de solo de mesmo tamanho, forma e orientação são coletadas em intervalos regulares ao longo de linhas imaginárias. Essas amostras podem originar duas séries distintas para a percentagem de H₂O (água) encontrada, conforme apresentado na Tabela abaixo.

TABELA - PERCENTAGEM DE H₂O EM DUAS AMOSTRAS DISTINTAS A E B.

A	5	10	15	20	25	20	15	10	5	% H₂O
B	10	25	15	10	20	5	15	5	20	% H₂O

Nesta tabela, os valores individuais nas duas amostras são exatamente os mesmos. Portanto a média e a variância amostral, assim como o histograma de frequência da variável observada nas amostras A e B, são rigorosamente idênticos. Qualquer análise que não leve em consideração outras estatísticas além da média, variância e histograma não diferenciará as duas séries. Este exemplo enfatiza a importância da medida da continuidade espacial da variável regionalizada. Assim, torna-se necessário considerar a posição espacial relativa de cada uma das observações nas duas amostras, para que as mesmas sejam diferenciadas. A continuidade espacial da variável regionalizada pode ser analizada a partir do variograma, conforme descrito a seguir.

Consulte também:
Variograma
Krigeagem