Krigeagem - Geoestatística

Esta página apresenta os principais conceitos relacionados aos procedimentos de estimação por krigeagem disponibilizados no módulo de geoestatística do SPRING.

• Métodos de estimação de krigeagem
• Krigeagem Simples (KS)
• Krigeagem Ordinária (KO)
• Krigeagem por Indicação (IK)

KRIGEAGEM

O termo krigeagem é derivado do nome Daniel G. Krige, que foi o pioneiro a introduzir o uso de médias móveis para evitar a superestimação sistemática de reservas de mineração (Delfiner e Delhomme, 1975).

Inicialmente, o método de krigeagem foi desenvolvido para solucionar problemas de mapeamentos geológicos, mas seu uso expandiu-se com sucesso no mapeamento de solos (Burgess e Webster, 1980a,b), mapeamento hidrológico (Kitanidis e Vomvoris, 1983), mapeamento atmosférico (Lajaunie, 1984) e outros campos correlatos.

A diferença entre a krigeagem e outros métodos de interpolação é a maneira como os pesos são atribuídos às diferentes amostras. No caso de interpolação linear simples, por exemplo, os pesos são todos iguais a 1/N (N = número de amostras); na interpolação baseada no inverso do quadrado das distâncias, os pesos são definidos como o inverso do quadrado da distância que separa o valor interpolado dos valores observados. Na krigeagem, o procedimento é semelhante ao de interpolação por média móvel ponderada, exceto que aqui os pesos são determinados a partir de uma análise espacial, baseada no semivariograma experimental. Além disso, a krigeagem fornece, em média, estimativas não tendenciosas e com variância mínima.

Segundo Oliver e Webster (1990), a krigeagem linear engloba um conjunto de métodos de estimação, a saber: krigeagem simples, krigeagem ordinária, krigeagem universal, co-krigeagem, krigeagem disjuntiva, etc. Existem também krigeagens não linear, das quais se destaca a krigeagem por indicação.

Este texto apresenta, nas seções que seguem, conceitos relacionados com a krigeagem simples, a krigeagem ordinária e a krigeagem por indicação.

KRIGEAGEM SIMPLES (KS)

Considere uma superfície sobre a qual se observe alguma propriedade do solo, Z, em n pontos distintos, com coordenadas representadas pelo vetor x. Assim, tem-se um conjunto de valores {z(x_i), i=1, ..., n}, onde x_i, identifica uma posição em duas dimensões representada pelos pares de coordenadas (x_i, y_i). Suponha que se objetive estimar o valor de Z no ponto x₀. O valor desconhecido de Z(x₀) pode ser estimado a partir de uma combinação linear dos n valores observados, adicionado a um parâmetro, l ₀ (Journel, 1988):

. (27)

Deseja-se um estimador não tendencioso, isto é,

E [ - ] = 0 . (28)

Esta relação impõe que as duas médias sejam iguais, isto é,

E [] = E[] . (29)

Mas (30)

O parâmetro l ₀ é obtido, substituindo a Equação 30 em 29, então:

. (31)

Substituindo o valor de l ₀ na Equação 27, obtem-se o estimador:

. (32)

O método de krigeagem simples supõe que a média (m) é conhecida e constante a priori, então:

Journel (1988) mostra que, minimizando a variância do erro (), os pesos l _i são obtidos a partir do seguinte sistema de equações, denominado sistema de krigeagem simples:

onde,

• C(x_i, x_j) refere-se à função covariância correspondente a um vetor, h, com origem em x_i e extremidade em x_j.
• C(x_i, x₀) refere-se a função covariância correspondente a um vetor, h, com origem em x_i e extremidade no ponto a ser estimado x₀.

Por exemplo, para n = 2, o sistema de krigeagem simples constitui-se de 2 equações a 2 incógnitas (l ₁, l ₂), a saber:

A correspondente variância minimizada do erro, denominada variância de krigeagem simples (), é dada por (Journel, 1988):

Em notação matricial, o sistema de krigeagem simples é escrito como:

onde, K e k são matrizes das covariâncias e l o vetor dos pesos.

A variância de krigeagem simples é dada por (Journel, 1988):

KRIGEAGEM ORDINÁRIA (KO)

Analogamente à krigeagem simples, o valor desconhecido de Z(x₀) pode ser estimado por uma combinação linear dos n valores observados adicionado a um parâmetro, l ₀ (Journel, 1988):

Deseja-se um estimador não tendencioso, isto é,

A relação acima impõe que as duas médias sejam iguais; assim aplicando-se a Equação 39 em 40, obtem-se:

Diferente da krigeagem simples, a krigeagem ordinária não requer o prévio conhecimento da média m. Neste caso, para que a igualdade da Equação 41 seja satisfeita é necessário que:

.

Portanto, o estimador de krigeagem ordinária é:

Journel (1988) mostra que, minimizando a variância do erro () sob a condição de que , os pesos l _i são obtidos a partir do seguinte sistema de equações, denominado sistema de krigeagem ordinária:

onde,

• C(xi, xj) e C(xi, x₀) são definidos como anteriormente; e
• a
é o multiplicador de Lagrange necessário para a minimização da variância do erro.

A correspondente variância minimizada do erro, denominada variância de krigeagem ordinária (), é dada pela seguinte expressão (Journel, 1988):

O sistema de krigeagem ordinária (43) pode ser escrito em notação matricial como:

onde,

K e k são matrizes das covariâncias e l o vetor dos pesos.

A variância de krigeagem ordinária é dada por (Journel, 1988):

Considere o espaço amostral da Figura abaixo. Suponha que se objetive estimar o valor da variável Z no ponto x_o, a partir de z(x₁), z(x₂), z(x₃) e z(x₄). Considere ainda, que o variograma experimental foi ajustado através de um modelo esférico, com contribuição C₁ = 20, efeito pepita C₀ = 2 e alcance a = 200.

Fig. - Grade de pontos amostrais.

Aplicando a Equação (45), tem-se:

=

Os elementos das matrizes são calculados da seguinte forma:

Cij = C₁ + C₀ - g (h), onde h é o vetor distância entre os pontos x_i e x_j. Então, para o exemplo dado, obtem-se:

= 20 + 2 - = 9,84

Substituindo os valores de C_ij nas matrizes, encontra-se os seguintes pesos: l ₁ = 0,518 , l ₂ = 0,022 , l ₃ = 0,089 e l ₄ = 0,371. Finalmente o estimador de é dado por:

= 0,518 z(x₁) + 0,022 z(x₂) + 0,089 z(x₃) + 0,371 z(x₄)

Comentários:

Embora as amostras Z₂ e Z₃ tenham pouca influência na estimativa final de Z₀, suas influências relativas não são lineares em relação às suas distâncias a partir de Z₀. A amostra Z₃ está mais distante que Z₂; no entanto, tem mais influência (8,9%) que Z₂ (2,2%). Isto ocorre porque Z₀ está diretamente sobre a influência de Z₃, enquanto Z₂ está muito próximo de Z₁. Ao se introduzir as covariâncias no cálculo dos pesos, evita-se associar pesos indevidos a "clusters" (agrupamentos) de amostras, o que não ocorre com outros métodos baseados somente na distância.

KRIGEAGEM POR INDICAÇÃO (IK)

A geoestatística modela os valores de um atributo, dentro de uma região A da superfície terrestre, como uma função aleatória. Para cada posição u Î A o valor do atributo de um dado espacial é modelado como uma variável aleatória (VA) Z(u). Isto significa que, na posição u, a VA Z(u) pode assumir diferente valores desse atributo, cada valor com uma probabilidade de ocorrência associada. Nas n posições amostradas, ua , a =1,2,...,n, os valores z(ua ) são considerados determinísticos, ou ainda, podem ser considerados VA’s cujo valor medido tem uma probabilidade de 100% de ocorrência. A função de distribuição de Z(u) condicionada aos dados amostrado, F(u; z|(n)), é definida por:

F(u; z|(n)) = Prob{Z(u) £ z|(n)} quando o atributo é numérico

e,

F(u; z|(n)) = Prob{Z(u) = z|(n)} quando o atributo é temático

A F(u; z|(n)) modela a incerteza sobre os valores de z(u), em posições u não amostradas, considerando-se as n amostras. Essa função pode ser inferida a partir do procedimento de inferência chamado de krigeagem por indicação. Ela é uma técnica de inferência estatística não linear pois é aplicada sobre os valores do atributo transformados por um mapeamento não linear, a codificação por indicação.

A codificação por indicação da VA Z(u=ua ), em um valor de corte z = z_k, gera a VA I(u=ua _; z_k) utilizando a seguinte função de mapeamento não linear:

     para atributos numéricos e,

  para atributos temáticos

Os valores de corte, z_k, k=1,2...,K, são definidos em função do número de amostras. É necessário que a quantidade de amostras codificadas com valor 1 seja suficiente para se definir, com sucesso, um modelo de variografia para cada valor de corte (Journel, 1983).

A esperança condicional da VA por indicação I(u; z_k) é calculada por:

A equação acima representa um resultado muito importante no que diz respeito a inferência da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória: "A esperança condicional de I(u; z_k) fornece, para o valor de corte z = z_k , uma estimativa do valor da função de distribuição condicionada, fdc, de Z(u) no caso de atributos temáticos e uma estimativa da função de distribuição acumulada condicionada, fdac, para atributos numéricos".

A krigeagem por indicação simples é um procedimento de krigeagem linear simples aplicado ao conjunto amostral codificado por indicação em z = z_k, ou seja:

onde F_S*(z_k) é a média da função aleatória da região estacionária e os pesos l _Sa (u; z_k) são determinados com o objetivo de minimizar a variância do erro de estimação.

Considerando-se a somatória dos pesos igual a 1 obtêm-se uma variante mais simplificada da krigeagem por indicação simples, a krigeagem por indicação ordinária, cuja expressão de estimação se resume a:

Os pesos l_Oa(u; z_k) são obtidos solucionando-se o seguinte sistema de equações krigeagem por indicação ordinária:

onde m(u; z_k) é um parâmetro de Lagrange, ha b é o vetor definido entre posições ua e ub _, ha é o vetor definido entre posições ua e u_, C_I(ha b ; z_k) é a autocovariância definida por ha b e C_I(ha ; z_k) é a autocovariância definida por ha . As autocovariâncias são determinadas pelo modelo de variografia teórico definido pelo conjunto I quando z = z_k.

A krigeagem por indicação, simples ou ordinária, fornece, para cada valor k de corte, uma estimativa que é também a melhor estimativa mínima quadrática da esperança condicional da VA I(u; z_k). Utilizando esta propriedade pode-se calcular estimativas dos valores da fdc de Z(u) para vários valores de z_k, pertencentes ao domínio de Z(u). O conjunto dos valores estimados para das fdc’s de Z(u), nos valores de corte, é considerado uma aproximação discretizada da fdc real de Z(u). Quanto maior a quantidade de valores de corte melhor é a aproximação.

A krigeagem por indicação é não paramétrica. Não considera nenhum tipo de distribuição de probabilidade a priori para a variável aleatória. Ao invés disso, ela possibilita a construção de uma aproximação discretizada da fdc de Z(u). Os valores de probabilidades discretizados podem ser usados diretamente para se estimar valores característicos da distribuição, tais como: valor médio, variância, moda, quantis e outros.

Sequência de Procedimentos no SPRING

 Consulte também:
Variáveis regionalizadas
Variograma
Análise Espacial no SPRING
Modelagem Numérica de Terreno
Edição vetorial