Variograma - Geoestatística

Esta página apresenta alguns conceitos sobre variograma, como parte do módulo de geoestatística do SPRING. Os tópicos apresentados aqui são:

• Parâmetros do Semivariograma,
• Estimador do variograma a partir de amostras regular e irregularmente espaçadas
• Modelos teóricos de ajuste para o variograma experimental
• Anisotropia

VARIOGRAMA - O que é ?

O variograma é uma ferramenta básica de suporte às técnicas de krigeagem, que permite representar quantitativamente a variação de um fenômeno regionalizado no espaço (Huijbregts, 1975).

Considere duas variáveis regionalizadas, X e Y, onde X = Z(x) e Y = Z(x+h). Neste caso, referem-se ao mesmo atributo (por exemplo, o teor de zinco no solo) medido em duas posições diferentes, conforme ilustra a Figura abaixo, onde

Fig. - Amostragem em duas dimensões.

x denota uma posição em duas dimensões, com componentes (x_i , y_i), e h um vetor distância (módulo e direção) que separa os pontos.

O nível de dependência entre essas duas variáveis regionalizadas, X e Y, é representado pelo variograma, 2g (h), o qual é definido como a esperança matemática do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço, separados pelo vetor distância h, isto é,

Através de uma amostra z(x_i), i=1, 2, ..., n, o variograma pode ser estimado por

• - é o variograma estimado;
• N(h) - é o número de pares de valores medidos, z(xi) e z(xi+h), separados por um vetor distância h
• z(xi) e z(xi+h) - são valores da i-ésima observação da variável regionalizada, coletados nos pontos x_i e x_i+h (i = 1, ..., n), separados pelo vetor h.

Muitos autores definem variograma de forma distinta da Equação (13), considerando o que comumente se refere como semivariograma, dado por:

. (15)

Analogamente, a função semivariograma pode ser estimada por:

(16)

onde N(h), z(x_i) e z(x_i +h) são conforme já definidos.

PARÂMETROS DO SEMIVARIOGRAMA

A Figura abaixo ilustra um semivariograma experimental com características muito próximas do ideal. O seu padrão representa o que, intuitivamente, se espera de dados de campo, isto é, que as diferenças {Z(x_i) - Z(x_i + h)} decresçam à medida que h, a distância que os separa decresce. É esperado que observações mais próximas geograficamente tenham um comportamento mais semelhante entre si do que aquelas separadas por maiores distâncias. Desta maneira, é esperado que g (h) aumente com a distância h.

Exemplo de semivariograma.

Os parâmetros do semivariograma podem ser observados diretamente da Figura :

• Alcance (a): distância dentro da qual as amostras apresentam-se correlacionadas espacialmente. Na Figura acima, o alcance ocorre próximo de 25m.
• Patamar (C): é o valor do semivariograma correspondente a seu alcance (a). Deste ponto em diante, considera-se que não existe mais dependência espacial entre as amostras, porque a variância da diferença entre pares de amostras (Var[Z(x) - Z(x+h)]) torna-se invariante com a distância.
• Efeito Pepita (C₀): por definição, g (0)=0, (refira-se à Equação 2.15 ). Entretanto, na prática, à medida que h tende para 0 (zero), g (h) se aproxima de um valor positivo chamado Efeito Pepita (C₀). O valor de C₀ revela a descontinuidade do semivariograma para distâncias menores do que a menor distância entre as amostras. Parte desta descontinuidade pode ser também devida a erros de medição (Isaaks e Srivastava, 1989), mas é impossível quantificar se a maior contribuição provém dos erros de medição ou da variabilidade de pequena escala não captada pela amostragem.
• Contribuição (C₁): é a diferença entre o patamar (C) e o Efeito Pepita (C_o).

CÁLCULO DO SEMIVARIOGRAMA A PARTIR DE AMOSTRAS REGULARMENTE ESPAÇADAS

Considere o conjunto de amostras regularmente espaçadas, em duas dimensões, conforme apresentado na Figura abaixo.

Fig. - Amostras regularmente espaçadas em duas dimensões.

Para determinar o semivariograma experimental, por exemplo, na direção de 90⁰ o cálculo de é repetido para todos os intervalos de h. Suponha a distância entre dois pontos consecutivos igual a 100 metros (d=100m). Então, qualquer par de observações, na direção 90⁰, cuja distância é igual a 100m será incluído no cálculo de . Isto feito, os cálculos são repetidos para a próxima distância, por exemplo, 200m. Isto inclui todos os pares de observações cuja distância é igual a 200m. O processo é repetido até que algum ponto de parada desejado seja alcançado. Este procedimento pode ser melhor compreendido com o auxílio da Figura 2.5 e também deve ser realizado para outras direções (0⁰, 45⁰ e 135⁰).

CÁLCULO DO SEMIVARIOGRAMA A PARTIR DE AMOSTRAS IRREGULARMENTE ESPAÇADAS

Considere o conjunto de amostras irregularmente espaçadas, em duas dimensões, conforme apresentado na Figura abaixo. Neste caso, para determinar o semivariograma experimental, é necessário introduzir limites de tolerância para direção e distância.

Fig. - Parâmetros para o cálculo do semivariograma a partir de amostras
irregularmente espaçadas em duas dimensões.
FONTE: Modificada de Deutsch e Journel (1992), p. 45.

Tome como referência o Lag₂ (Lag refere-se a uma distância pré-definida, a qual é utilizada no cáculo do semivariograma) da figura acima. Suponha um incremento de Lag igual a 100 metros com tolerância de 50 metros. Considere ainda a direção de medida 45⁰ com tolerância angular 22.5⁰. Então, qualquer par de observações cuja distância está compreendida entre 150m e 250m e 22.5⁰ e 67.5⁰ será incluído no cálculo do semivariograma de Lag₂. Este processo se repete para todos os Lag’s.

Ainda com referência na Figura acima, a largura de banda (BW) se refere a um valor de ajuste a partir do qual se restringe o número de pares de observações para o cálculo do semivariograma.

A próxima etapa constitui o ajuste de um modelo teórico ao semivariograma experimental, conforme descrito a seguir.

MODELOS TEÓRICOS

O gráfico do semivariograma experimental,, calculado através da Equação (16), é formado por uma série de valores, conforme ilustra a Figura acima, sobre os quais se objetiva ajustar uma função. É importante que o modelo ajustado represente a tendência de em relação a h. Deste modo, as estimativas obtidas a partir da krigeagem serão mais exatas e, portanto mais confiáveis.

O procedimento de ajuste não é direto e automático, como no caso de uma regressão, por exemplo, mas sim interativo, pois nesse processo o intérprete faz um primeiro ajuste e verifica a adequação do modelo teórico. Dependendo do ajuste obtido, pode ou não redefinir o modelo, até obter um que seja considerado satisfatório.

Os modelos aqui apresentados são considerados modelos básicos, denominados de modelos isotrópicos por Isaaks e Srivastava (1989). Estão divididos em dois tipos: modelos com patamar e modelos sem patamar. Modelos do primeiro tipo são referenciados na geoestatística como modelos transitivos. Alguns dos modelos transitivos atingem o patamar (C) assintoticamente. Para tais modelos, o alcance (a) é arbitrariamente definido como a distância correspondente a 95% do patamar. Modelos do segundo tipo não atingem o patamar, e continuam aumentanto enquanto a distância aumenta. Tais modelos são utilizados para modelar fenômenos que possuem capacidade infinita de dispersão.

Conforme discutido em Parâmetros do Semivariograma, muitos semivariogramas experimentais apresentam uma descontinuidade na origem. Quando |h|=0, o valor do semivariograma é estritamente zero. Porém quando |h| tende a zero, o valor do semivariograma pode ser significativamente maior que zero, isto é, ocorre uma descontinuidade na origem. Tal descontinuidade é modelada através do modelo de efeito pepita, assim definido:

g _o (|h|) = (17)

Na literatura geoestatística, o efeito pepita não é classificado como modelo básico, mas aparece como uma constante (C_o) na equação do semivariograma, e deve ser entendido que C_o = 0 quando |h| = 0. A rigor, a notação para o efeito pepita é C_{o g} o(|h|), onde C_o representa o valor da descontinuidade na origem, e g _o(|h|) é o modelo de efeito pepita normalizado conforme apresentado na Equação 17. Esta notação é consistente com a apresentação dos modelos básicos aqui descritos e torna-se conveniente quando se usa um modelo composto.

Os modelos transitivos mais utilizados são: modelo esférico (Sph), modelo exponencial (Exp) e modelo gaussiano (Gau). Estes modelos estão apresentados na Figura abaixo com o mesmo alcance (a).

Fig. - Representação gráfica de modelos transitivos normalizados.
FONTE: Modificada de Isaaks e Srivastava (1989), p. 374.

O modelo esférico é um dos modelos mais utilizados e está representado em vermelho na Figura acima. A equação normalizada deste modelo é:

(18)

Um outro modelo bastante utilizado é o modelo exponencial, o qual é apresentado em azul na Figura acima. A equação normalizada deste modelo é:

(19)

Este modelo atinge o patamar assintoticamente, com o alcance prático definido como a distância na qual o valor do modelo é 95% do patamar (Isaaks e Srivastava, 1989).

O modelo gaussiano é um modelo transitivo, muitas vezes usado para modelar fenômenos extremamente contínuos (Isaaks e Srivastava, 1989). Sua formulação é dada por:

(20)

Semelhante no modelo exponencial, o modelo gaussiano atinge o patamar assintoticamente e o parâmetro a é definido como o alcance prático ou distância na qual o valor do modelo é 95% do patamar (Isaaks e Srivastava, 1989). O que caracteriza este modelo é seu comportamento parabólico próximo à origem, conforme representado na Figura acima através da linha sólida verde.

O modelo potência não é um modelo transitivo, portanto não atinge o patamar. Em geral, este tipo de modelo é utilizado para modelar fenômenos com capacidade infinita de dispersão. A Figura abaixo ilustra o modelo potência, o qual é expresso através de:

(21)

onde,

• c é o coeficiente de declividade, e
• e é o expoente.

Fig. - Representação gráfica do modelo potência.

Até este ponto foram apresentados os principais modelos básicos normalizados, os quais são utilizados para modelar ou ajustar o semivariograma experimental. Na prática, os semivariogramas experimentais possuem valores de efeito pepita (C_o) maior que zero e valores de patamar (C) maiores que a unidade, conforme ilustrado na Figura abaixo.

Fig. - Representação gráfica de semivariogramas experimentais e modelos teóricos. Em resumo, os semivariogramas dos modelos transitivos básicos são assim definidos:

• Modelo Esférico de Semivariograma:

(22)

• Modelo Exponencial de Semivariograma:

(23)

• Modelo Gaussiano de Semivariograma:

(24)

De maneira análoga, o modelo potência é escrito em termos de semivariograma da seguinte forma:

• Modelo Potência de Semivariograma :

g (25)

Existem determinados fenômenos em que são necessários modelos mais complexos de semivariograma para explicar suas variações espaciais. Estes modelos são combinações de modelos simples, denominados aninhados. McBratney e Webster (1986) observaram que modelos aninhados são necessários para explicar a variação do solo decorrente de fatores independentes de formação. Por exemplo, um modelo aninhado útil em estudos de mineração e pesquisa de solo é o duplo esférico. McBratney et al. (1982) o utilizaram para descrever a variação do cobre e do cobalto no solo. Este modelo é definido como:

(26)

• a₁ e C₁ correspondem aos parâmetros de alcance e contribuição, respectivamente, do primeiro modelo esférico (g ₁ (h)) e
• a₂ e C₂ correspondem aos parâmetros de alcance e contribuição, respectivamente, do segundo modelo esférico (g ₂ (h)).

Este modelo é mostrado na Figura abaixo, onde as linhas sólidas representam os modelos de ajuste teórico ao semivariograma experimental.

Fig. - Representação gráfica de um modelo duplo esférico.

Dependendo do fenômeno em estudo, outros modelos aninhados são necessários para caracterizar a variabilidade espacial. Por exemplo: duplo exponencial, exponencial com duplo esférico, linear com duplo esférico, etc.

ANISOTROPIA

A anisotropia pode ser facilmente constatada através da observação dos semivariogramas obtidos para diferentes direções. As convenções direcionais usadas na geoestatística são mostradas na Figura abaixo.

Fig. - Convenções direcionais usadas na geoestatística.

Considere os semivariogramas obtidos para as direções 0⁰, 45⁰, 90⁰ e 135⁰, ilustrados na Figura abaixo. Verifica-se uma similaridade bastante grande entre eles. Esta é a representação de um caso simples e menos freqüente, em que a distribuição espacial do fenômeno é denominada isotrópica. Neste caso, um único modelo é suficiente para descrever a variabilidade espacial do fenômeno em estudo.

Fig. - Representação gráfica de semivariogramas isotrópicos.

Por outro lado, se os semivariogramas não são iguais em todas as direções, a distribuição é denominada anisotrópica. Se a anisotropia é observada e é refletida pelo mesmo Patamar (C) com diferentes Alcances (a) do mesmo modelo, então ela é denominada Geométrica.

Considere o semivariograma ilustrado na Figura abaixo. Os pontos interligados com linhas tracejadas são os semivariogramas experimentais em duas direções ortogonais. O semivariograma que atinge primeiro o patamar (azul) se refere à direção de 120⁰ e o semivariograma com maior alcance (vermelho) se refere à direção de 30⁰. As linhas sólidas em ambas direções são os modelos teóricos de ajuste dos semivariogramas experimentais.

Fig. - Representação gráfica de anisotropia geométrica.

Um modo direto de visualizar e calcular os parâmetros (fator e ângulo) da anisotropia geométrica é através do esboço gráfico de uma elipse, calculada através dos alcances obtidos em direções distintas, conforme Figura abaixo. As convenções que seguem, são as adotadas por Deutsch e Journel (1992). Para o eixo maior da elipse, denominado direção de máxima continuidade, aplica-se o maior alcance(a₁). O ângulo da direção de máxima continuidade é definido a partir da direção Norte e no sentido horário. Seu valor corresponde à direção de maior alcance. O eixo menor define o alcance(a₂) na direção de menor continuidade, sendo este ortogonal à direção principal.

Fig. - Representação gráfica da anisotropia geométrica em duas dimensões.
FONTE: Modificada de Deutsch e Journel (1992), p. 24.

O fator de anisotropia geométrica é definido como a razão entre o alcance na direção de menor continuidade (a₂) e o alcance na direção de maior continuidade (a₁). Neste caso, o fator de anisotropia geométrica é sempre menor que a unidade e o ângulo de anisotropia é igual ao ângulo da direção de máxima continuidade.

Existe ainda um outro tipo de anisotropia em que os semivariogramas apresentam os mesmos Alcances (a) e diferentes Patamares (C). Neste caso, a anisotropia é denominada Zonal. Como a isotropia, a anisotropia zonal também é um caso menos freqüente presente nos fenômenos naturais. O mais comum é encontrar combinações da anisotropia zonal e geométrica, denominada anisotropia combinada.

Considere o semivariograma apresentado na Figura abaixo. Os pontos interligados com linhas tracejadas correspondem a semivariogramas experimentais em duas direções ortogonais. O semivariograma com maior patamar (azul) refere-se à direção de 60⁰ e o semivariograma com menor patamar (vermelho) refere-se à sua direção perpendicular (150⁰). Os modelos de ajuste aos semivariogramas estão representados por linhas sólidas.

Fig. - Representação gráfica de anisotropia combinada.

Segundo Isaaks e Srivastava (1989), citados por Deutsch e Journel (1992, p. 25), a anisotropia zonal pode ser considerada como um caso particular da anisotropia geométrica, ao se supor um fator de anisotropia muito grande. Nesta condição, o alcance implícito na direção de menor continuidade é muito grande. A estrutura do semivariograma é então adicionada somente para a direção de maior continuidade.

Veja como executar:

Sequência de Procedimentos no SPRING

Análise Exploratória
Análise Espacial por Semivariograma
Ajuste do Semivariograma
Validação do Modelo
Krigeagem

Consulte também:
Variáveis regionalizadas
Sobre Krigeagem
Análise Espacial no SPRING
Modelagem Numérica de Terreno
Edição vetorial