Variograma - geoestadística

Esta página presenta algunos conceptos sobre variograma, como parte del módulo de geoestadística de SPRING. Los tópicos presentados aquí son:


VARIOGRAMA - Que es ?

El variograma es una herramienta básica de soporte a las técnicas de KRIGING, que permite representar quantitativamente la variación de un fenómeno regionalizado en el espacio (Huijbregts, 1975).

Considere dos variables regionalizadas, X y Y, donde X = Z(x) y Y = Z(x+h). En este caso, se refieren al mismo atributo (por ejemplo, el teor de zinco en el suelo) medido en dos posiciones diferentes, tal y como ilustra la Figura inferior, donde

Fig. - Muestra en dos dimensiones.

x denota una posición en dos dimensiones, con componentes (xi , yi), y h un vector distancia (módulo y dirección) que separa los puntos.

El nível de dependencia entre esas dos variables regionalizadas, X y Y, es representado por el variograma, 2g (h), el qual es definido como la esperanza matemática del cuadrado de la diferencia entre los valores de puntos en el espacio, separados por el vector distancia h, es decir,

2g (h) = E{[Z(x)-Z(x+h)]2} = Var[Z(x)-Z(x+h)] . (13)

A través de una muestra z(xi), i=1, 2, ..., n, el variograma puede ser estimado por

, (14)

donde:


Muchos autores definen variograma de forma distinta de la Equación (13), considerando que comunmente se refiere como semivariograma, dado por:


. (15)


Analogamente, la función semivariograma puede ser estimada por:


(16)

donde N(h), z(xi) y z(xi +h) son tal y como ya definidos.


PARAMETROS DEL SEMIVARIOGRAMA

La Figura inferior ilustra un semivariograma experimental con características muy próximas del ideal. Su padrón representa el que, intuitivamente, se espera de datos de campo, es decir, que las diferencias {Z(xi) - Z(xi + h)} decrezan a medida que h, la distancia que los separa decrece. Es esperado que observaciones más próximas geograficamente tengan un comportamiento más semejante entre si del que aquellas separadas por mayores distancias. De esta manera, es esperado que g (h) aumente con la distancia h.

Ejemplo de semivariograma.

Los parámetros del semivariograma pueden ser observados directamente en la Figura :




CÁLCULO DEL SEMIVARIOGRAMA A PARTIR DE MUESTRAS REGULARMENTE ESPACIADAS

Considere el conjunto de muestras regularmente espaciadas, en dos dimensiones, tal y como presentado en la Figura inferior.

Fig. - Muestras regularmente espaciadas en dos dimensiones.

Para determinar el semivariograma experimental, por ejemplo, en la direción de 900 el cálculo es repetido para todos los intérvalos de h. Suponga la distancia entre dos puntos consecutivos igual a 100 metros (d=100m). Entonces, cualquier par de observaciones, en la dirección 900, cuya distancia es igual a 100m será incluído en el cálculo de . Esto hecho, los cálculos son repetidos para la próxima distancia, por ejemplo, 200m. Esto incluye todos los pares de observaciones cuya distancia es igual a 200m. El proceso es repetido hasta que algún punto de parada deseado sea alcanzado. Este procedimiento puede ser mejor comprendido con el auxílio de la Figura 2.5 y también debe ser realizado para otras direcciones (00, 450 y 1350).

Fig. - Ilustración para el cálculo del semivariograma a
partir de muestras regularmente espaciadas.


CÁLCULO DEL SEMIVARIOGRAMA A PARTIR DE MUESTRAS IRREGULARMENTE ESPACIADAS

Considere el conjunto de muestras irregularmente espaciadas, en dos dimensiones, tal y como presentado en la Figura inferior. en este caso, para determinar el semivariograma experimental, es necesario introducir limites de tolerancia para dirección y distancia.


Fig. - parámetros para el cálculo del semivariograma a partir de muestras
irregularmente espaciadas en dos dimensiones.
FONTE: Modificada de Deutsch y Journel (1992), p. 45.

Tome como referencia el Lag2 (Lag se refiere a una distancia pre-definida, la cual es utilizada en el cáculo del semivariograma) de la figura superior. Suponga un incremento de Lag igual a 100 metros con tolerancia de 50 metros. Considere incluso la dirección de medida 450 con tolerancia angular 22.50. Entonces, cualquier par de observaciones cuya distancia esté comprendida entre 150m y 250m y 22.50 y 67.50 será incluida en el cálculo del semivariograma de Lag2. Este proceso se repite para todos los Lag’s.

Incluso con referencia en la Figura superior, el ancho de banda (BW) se refiere a un valor de ajuste a partir del cual se restringe el número de pares de observaciones para el cálculo del semivariograma.

La próxima etapa constituye el ajuste de un modelo teórico al semivariograma experimental, tal y como se describe a continuaciónr.



MODELOS TEÓRICOS

El gráfico del semivariograma experimental,, calculado a través de la Ecuación (16), es formado por una série de valores, tal y como ilustra la Figura superior, sobre los cuales se objetiva ajustar una función. Es importante que el modelo ajustado represente la tendencia de en relación a h. De este modo, las estimativas obtenidas a partir de KRIGING serán más exactas y, por tanto más confiables.

El procedimiento de ajuste no es directo y automático, como en el caso de una regresión, por ejemplo, pero si interactivo, pues en ese proceso el intérprete hace un primer ajuste y verifica la adecuación del modelo teórico. Dependiendo del ajuste obtenido, puede o no redefinir el modelo, hasta obtener uno que sea considerado satisfatório.

Los modelos aquí presentados son considerados modelos básicos, denominados de modelos isotrópicos por Isaaks y Srivastava (1989). Están divididos en dos tipos: modelos con patamar y modelos sin patamar. Modelos del primer tipo son referenciados en la geoestadística como modelos transitivos. Algunos de los modelos transitivos atingen el patamar (C) asintoticamente. Para tales modelos, el alcance (a) es arbitraríamente definido como la distancia correspondiente al 95% del patamar. Modelos del segundo tipo no atingen el patamar, y continuan aumentando mientras la distancia aumenta. Tales modelos son utilizados para modelar fenómenos que poseen capacidad infinita de dispersión.


MODELO EFECTO PEPITA

Tal y como discutido en parámetros del Semivariograma, muchos semivariogramas experimentales presentan una discontinuidad en el origen. Cuando |h|=0, o valor del semivariograma es estrictamente cero. Aunque cuando |h| tiende a cero, el valor del semivariograma puede ser significativamente mayor que cero, es decir, ocurre una discontinuidad en el origen. Tal discontinuidad es modelada a través del modelo de efecto pepita, así definido:

g o (|h|) = (17)

En la literatura geoestadística, el efecto pepita no es clasificado como modelo básico, pero aparece como una constante (Co) en la ecuación del semivariograma, y debe ser entendido que Co = 0 cuando |h| = 0. La notación para el efecto pepita es Co g o(|h|), donde Co representa el valor de la discontinuidad en la origen, y g o(|h|) es el modelo de efecto pepita normalizado tal y como presentado en la Ecuación 17. Esta notación es consistente con la presentación de los modelos básicos aquí descritos y se vuelve conveniente cuando se usa un modelo compuesto.

Los modelos transitivos más utilizados son: modelo esférico (Sph), modelo exponencial (Exp) y modelo gausiano (Gau). Estos modelos están presentados en la Figura inferior con el mismo alcance (a).


Fig. - Representación gráfica de modelos transitivos normalizados.
FONTE: Modificada de Isaaks y Srivastava (1989), p. 374.


MODELO ESFÉRICO

El modelo esférico es uno de los modelos más utilizados y está representado en rojo en la Figura superior. La ecuación normalizada de este modelo es:

(18)


MODELO EXPONENCIAL

Otro modelo bastante utilizado es el modelo exponencial, el cual es presentado en azul en la Figura superior. La ecuación normalizada de este modelo es:

(19)

Este modelo comprende el patamar asintoticamente, con el alcance práctico definido como la distancia en la cual el valor del modelo es 95% del patamar (Isaaks y Srivastava, 1989).


MODELO GAUSSIANO

El modelo gausiano es un modelo transitivo, muchas veces usado para modelar fenómenos extremamente contínuos (Isaaks y Srivastava, 1989). Su formulación es dada por:

(20)

Semejante en el modelo exponencial, el modelo gausiano comprende el patamar asintoticamente y el parámetro es definido como el alcance práctico o distancia en la cual el valor del modelo es 95% del patamar (Isaaks y Srivastava, 1989). El que caracteriza este modelo es su comportamiento parabólico próximo al origen, tal y como representado en la Figura superior a través de la línea solida verde.


MODELO POTENCIA

El modelo potencia no es un modelo transitivo, por tanto no comprende el patamar. En general, este tipo de modelo es utilizado para modelar fenómenos con capacidad infinita de dispersión. La Figura inferior ilustra el modelo potencia, el cual es expresado a través de:

(21)

donde,


Fig. - Representación gráfica del modelo potencia.


Hasta este punto fueron presentados los principales modelos básicos normalizados, los cuales son utilizados para modelar el ajustar el semivariograma experimental. En la práctica, los semivariogramas experimentales poseen valores de efecto pepita (Co) mayor que zero y valores de patamar (C) mayores que la unidad, tal y como ilustrado en la Figura inferior.

Fig. - Representación gráfica de semivariogramas experimentales y modelos teóricos. En resumen, los semivariogramas de los modelos transitivos básicos son así definidos:


(22)

(23)


(24)

De maneira análoga, el modelo potencia es escrito en términos de semivariograma de la siguiente forma:

g (25)



MODELOS ANIñADOS

Existen determinados fenómenos en que son necesários modelos más complejos de semivariograma para explicar sus varíaciones espaciales. Estos modelos son combinaciones de modelos simples, denominados anidados. McBratney y Webster (1986) observaron que modelos anidados son necesarios para explicar la variación del suelo decurrente de factores independentes de formación. Por ejemplo, un modelo anidado útil en estudios de mineración y investigación de suelo es el doble esférico. McBratney et al. (1982) lo utilizaron para describir la variación del cobre y del cobalto en el suelo. Este modelo es definido como:

(26)

donde,


Este modelo es mostrado en la Figura inferior, donde las líneas representan los modelos de ajuste teórico al semivariograma experimental.



Fig. - Representación gráfica de un modelo doble esférico.


Dependiendo del fenómeno en estudio, otros modelos anidados son necesários para caracterizar la varíabilidad espacial. Por ejemplo: doble exponencial, exponencial con doble esférico, linear con doble esférico, etc.



ANISOTROPIA

La anisotropía puede ser facilmente constatada a través de la observación de los semivariogramas obtenidos para diferentes direcciones. Las convenciones direccionales usadas en la geoestadística son muestradas en la Figura inferior.


Fig. - Convenciones direcionales usadas en la geoestadística.

Considere los semivariogramas obtenidos para las direcciones 00, 450, 900 y 1350, ilustrados en la Figura inferior. Se verifica una similaridad bastante grande entre ellos. Esta es la representación de un caso simple y menos frecuente, en que la distribución espacial del fenómeno es denominada isotrópica. en este caso, un único modelo es suficiente para describir la variabilidad espacial del fenómeno en estudio.

Fig. - Representación gráfica de semivariogramas isotrópicos.

Por otro lado, se los semivariogramas no son iguales en todas las direciones, la distribución es denominada anisotrópica. Si la anisotropía es observada y es reflejada por el mismo Patamar (C) con diferentes Alcances (a) del mismo modelo, entonces ella es denominada Geométrica.

Considere el semivariograma ilustrado en la Figura inferior. Los puntos relacionados con líneas traceadas son los semivariograpero experimentales en dos direcciones ortogonales. El semivariograma que alcanza primero el patamar (azul) se refiere a la dirección de 1200 y el semivariograma con mayor alcance (rojo) se refiere a la dirección de 300. Las líneas sólidas en ambas direciones son los modelos teóricos de ajuste de los semivariogramas experimentales.


Fig. - Representación gráfica de anisotropía geométrica.

Um modo directo de visualizar y calcular los parámetros (factor y ángulo) de la anisotropía geométrica es a través del esbozo gráfico de una elipse, calculada a través de los alcances obtenidos en direcciones distintas, tal y como muestra la Figura inferior. Las convenciones que siguen, son las adoptadas por Deutsch y Journel (1992). Para el ejo mayor de la elipse, denominado dirección de máxima continuidad, se aplica el mayor alcance(a1). El ángulo de la dirección de máxima continuidad es definido a partir de la dirección Norte y en el sentido horário. Su valor corresponde a la direción de mayor alcance. El eje menor define el alcance(a2) en la dirección de menor continuidad, siendo este ortogonal a la dirección principal.


Fig. - Representación gráfica de la anisotropía geométrica en dos dimensiones.
FONTE: Modificada de Deutsch y Journel (1992), p. 24.

El factor de anisotropía geométrica es definido como la razón entre el alcance en la dirección de menor continuidad (a2) y el alcance en la direción de mayor continuidad (a1). en este caso, el factor de anisotropía geométrica es siempre menor que la unidad y el ángulo de anisotropía es igual al ángulo de la dirección de máxima continuidad.

Existe incluso otro tipo de anisotropía en que los semivariogramas presentan los mismos Alcances (a) y diferentes Patamares (C). En este caso, la anisotropía es denominada Zonal. Como la isotropía, la anisotropía zonal también es un caso menos frecuente presente en los fenómenos naturales. El más común es encontrar combinaciones de la anisotropía zonal y geométrica, denominada anisotropía combinada.

Considere el semivariograma presentado en la Figura inferior. Los puntos relacionados con líneas traceadas corresponden a semivariogramas experimentales en dos direcciones ortogonales. El semivariograma con mayor patamar (azul) se refiere a la dirección de 600 y el semivariograma con menor patamar (rojo) se refiere a su dirección perpendicular (1500). Los modelos de ajuste a los semivariogramas están representados por líneas sólidas.


Fig. - Representación gráfica de anisotropía combinada.

Según Isaaks y Srivastava (1989), citados por Deutsch y Journel (1992, p. 25), la anisotropía zonal puede ser considerada como un caso particular de la anisotropía geométrica, al suponer un factor de anisotropía muy grande. En esta condición, el alcance implícito en la dirección de menor continuidad es muy grande. La estructura del semivariograma es entonces adicionada solamente para la direción de mayor continuidad.




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Consulte también:
variables regionalizadas
Sobre KRIGING
Análisis Espacial en SPRING
Modelage Numérica de Terreno
Edición vectoríal