Esta página presenta los principales conceptos relacionados con los procedimientos de estimación por krigeagen disponibles en el módulo de geoestadística de SPRING.
El termino krigeagen es derivado del nome Daniel G. Krige, que fue el pionero en introducir el uso de medias mobiles para evitar la superestimación sistemática de reservas de mineración (Delfiner e Delhomme, 1975).
Inicialmente, el método de krigeagen fue desarrollado para solucionar problemas de mapeamientos geológicos, pero su uso se expandió con suceso en el mapeamiento de suelos (Burges y Webster, 1980a,b), mapeamiento hidrológico (Kitanidis y Vomvoris, 1983), mapeamiento atmosférico (Lajaunie, 1984) y otros campos.
La diferencia entre el krigeagen y otros métodos de interpolación es la manera como los pesos son atribuidos a las diferentes mostras. En el caso de interpolación linear simple, por ejemplo, los pesos son todos iguales a 1/N (N = número de mostras); en la interpolación basada en el inverso del cuadrado de las distancias, los pesos son definidos como el inverso del cuadrado de la distancia que separa el valor interpolado de los valores observados. En krigeagen, el procedimiento es semejante al de interpolación por media móbil ponderada, excepto que aquí los pesos son determinados a partir de un análisis espacial, basada en el semivariograma experimental. Además de eso, el krigeagen provee, en media, estimativas no tendenciosas y con variancia mínima.
Según Oliver y Webster (1990), el krigeagen linear engloba un conjunto de métodos de estimación, a saber: krigeagen simple, krigeagen ordinaría, krigeagen universal, co-krigeagen, krigeagen disyuntiva, etc. Existen también krigeagens no lineares, de las cuales se destaca el krigeagen por indicación.
Este texto presenta, en las secciones siguientes, conceptos relacionados con el krigeagen simple, el krigeagen ordinario y el krigeagen por indicación.
Considere una superfície sobre la qual se observa alguna propriedad del suelo, Z en n puntos distintos, con coordenadas representadas por el vector x. Así, se tiene un conjunto de valores {z(xi), i=1, ..., n}, donde xi, identifica una posición en dos dimensiones representada por los pares de coordenadas (xi, yi). Suponga que se tiene por objetivo estimar el valor de Z en el punto x0. El valor desconecido de Z(x0) puede ser estimado a partir de una combinación linear de los n valores observados, adicionado a un parámetro, l 0 (Journel, 1988):
.
(27)
Se desea un estimador no tendencioso, es decir,
E [ -
] = 0 . (28)
Esta relación impone que las dos medias sean iguales, es decir,
E [] = E[
] . (29)
Pero (30)
El parámetro l 0 es obtenido, substituyendo en la Ecuación 30 en 29, entonces:
.
(31)
Substituyendo el valor de l 0 en la Ecuación 27, se obtiene el estimador:
.
(32)
El método de krigeagen simple supone que la media (m) es conecida y constante a priori, entonces:
=
m . (33)
Substituyendo en la Ecuación 33 en 32, el estimador de krigeagen
simple será:
.
(34)
Journel (1988) muestra que, minimizando la
varianzia del error (), los pesos l i son
obtenidos a partir del siguiente sistema de ecuaciones,
denominado sistema de krigeagen simple:
para i = 1, ..., n (n
ecuaciones) (35)
donde,
Por ejemplo, para n = 2, el sistema de krigeagen simple se constituye de 2 ecuaciones de 2 incógnitas (l 1, l 2), a saber:
La correspondiente varianza minimizada del error, denominada
varianzia de krigeagen simple (), es dada por (Journel, 1988):
.
(36)
en notación matricial, el sistema de krigeagen simple es escrito como:
K . l = k Þ
l = . k, con (37)
, l y k
donde, K y k son matrizes de las covarianzas y l el vector de los pesos.
La varianza de krigeagen simple es dada por (Journel, 1988):
(38)
Analogamente al krigeagen simple, el valor desconecido de Z(x0) puede ser estimado por una combinación linear de los n valores observados adicionando a un parámetro, l 0 (Journel, 1988):
.
(39)
Se desea un estimador no tendencioso, es decir,
E [-
] = 0 . (40)
A relación superior impõe que as duas médias seam iguais; asim aplicando-se a Equación 39 en 40, obten-se:
. (41)
Diferente de el krigeagen simples, el krigeagen ordináría no requer el prévio coñecimiento da média m. en este caso, para que la igualdade da Equación 41 sea satisfeita es necesário que:
.
Portanto, el estimador de krigeagen ordináría é:
, con
. (42)
Journel (1988) muestra que, minimizando a
variância del erro () sob la condición de que
, lospesos l i son obtidos la partir do
seguinte sistema de equaciones, denominado sistema de
krigeagen ordináría:
(43)
onde,
A correspondente variância minimizada del erro, denominada
variância de krigeagen ordináría (), es dada pela
seguinte expresán (Journel, 1988):
.
(44)
O sistema de krigeagen ordináría (43) puede ser escrito en notación matricial como:
K . l = k Þ
l = . k (45)
onde,
K y k son matrizes de las covariâncias y l el vector de los pesos.
K =, l =
e k =
A variância de krigeagen ordináría es dada por (Journel, 1988):
(46)
ejemplo PRÁTICO DE KRIGEAGen
Considere el espaço amuestral de la Figura inferior. Supoña que se objetive estimar el valor de la variável Z en el punto xo, a partir de z(x1), z(x2), z(x3) e z(x4). Considere ainda, que el variograma experimental fue ajustado a través de un modelo esférico, com contribuición C1 = 20, efeito pepita C0 = 2 y alcance la = 200.
Fig. - Rejilla de puntos amuestrais.
Aplicando la Equación (45), ten-se:
=
Os elenentos de las matrizes son calculados da seguinte forma:
Cij = C1 + C0 - g (h), donde h es el vector distância entre lospuntos xi y xj. Entán, para el ejemplo dato, obten-se:
C12 = C21 = C04 = C1
+ C0 - g (50)
= 20 + 2 - =
9,84
C13 = C31 = C1 + C0
- g = 1,23
C14 = C41 = C02 = C1
+ C0 - g = 4,98
C23 = C32 = C1 + C0
- g = 2,33
C24 = C42 = C1 + C0
- g = 0,29
C34 = C43 = C1 + C0
- g = 0
C01 = C1 + C0 - g (50) = 12,66
C03 = C1 + C0 - g (150) = 1,72
C11 = C22 = C33 = C44 = C1 + C0 - g (0) = 22
Substituindo losvalores de Cij nas matrizes, encontra-se os seguintes pesos: l 1 = 0,518 , l 2 = 0,022 , l 3 = 0,089 y l 4 = 0,371. Finalmente el estimador de es dato por:
= 0,518 z(x1)
+ 0,022 z(x2) + 0,089 z(x3)
+ 0,371 z(x4)
Comentários:
aunque lasamuestras Z2 y Z3 teñam pouca influencia en la estimactiva final de Z0, suas influencias relactivas no son lineares en relación às suas distâncias la partir de Z0. A amuestra Z3 está más distante que Z2; no entanto, ten más influencia (8,9%) que Z2 (2,2%). Isto ocorre porque Z0 está diretamente sobre a influencia de Z3, enquanto Z2 está muito próximo de Z1. Ao se introduzir as covariâncias en el cálculo de los pesos, evita-se asociar pesos indevidos la "clusters" (agrupamientos) de amuestras, el que no ocorre con otro s métodos baseados somente en la distância.
A geoestadística modela losvalores de um atributo, dentro de una regián La de la superfície terrestre, como una función aleatóría. Para cada posición u Î A o valor del atributo de un dato espacial es modelado como una variável aleatóría (VA) Z(u). Isto significa que, na posición u, la VA Z(u) puede asumir diferente valores dese atributo, cada valor con una probabilidade de ocorrencia asociada. Nas n posiciones amuestradas, ua , a =1,2,...,n, losvalores z(ua ) sán considerados determinísticos, el ainda, pueden ser considerados VA’s cujo valor medido ten una probabilidade de 100% de ocorrencia. La función de distribución de Z(u) condicionada aos datos amuestrado, F(u; z|(n)), es definida por:
F(u; z|(n)) = Prob{Z(u) £ z|(n)} cuando el atributo é numérico
e,
F(u; z|(n)) = Prob{Z(u) = z|(n)} cuando el atributo es temático
A F(u; z|(n)) modela a incerteza sobre losvalores de z(u), en posiciones u no amuestradas, considerando-se as n amuestras. Esa función puede ser inferida a partir del procedimiento de inferencia chamado de krigeagen por indicación. Ela es una técnica de inferencia estatística no linear pois é aplicada sobre losvalores del atributo transformados por un mapeamiento no linear, la codificación por indicación.
A codificación por indicación de la VA Z(u=ua ), en un valor de corte z = zk, genera a VA I(u=ua ; zk) utilizando la seguinte función de mapeamiento no linear:
para atributos numéricos e,
para
atributos temáticos
Os valores de corte, zk, k=1,2...,K, son definidos en función do número de amuestras. É necesário que la quantidade de amuestras codificadas con valor 1 sea suficiente para se definir, com suceso, un modelo de variografia para cada valor de corte (Journel, 1983).
A esperança condicional de la VA por indicación I(u; zk) es calculada por:
A equación superior representa um resultado muito importante en el que diz respeito la inferencia da distribución de probabilidade de una variável aleatóría: "A esperança condicional de I(u; zk) fornece, para el valor de corte z = zk , una estimactiva del valor de la función de distribución condicionada, fdc, de Z(u) no caso de atributos temáticos y una estimactiva da función de distribución acumulada condicionada, fdac, para atributos numéricos".
A krigeagen por indicación simples é un procedimiento de krigeagen linear simples aplicado ao conjunto amuestral codificado por indicación en z = zk, ou sea:
onde FS*(zk) é la média de la función aleatóría da regián estacionáría y lospesos l Sa (u; zk) sán determinados con el objetivo de minimizar la variância do erro de estimación.
Considerando-se la somatóría de los pesos igual la 1 obtem-se una varíante más simplificada de el krigeagen por indicación simples, el krigeagen por indicación ordináría, cuja expresán de estimación se resume a:
Os pesos lOa(u; zk) sán obtidos solucionando-se el seguinte sistema de equaciones krigeagen por indicación ordináría:
onde m(u; zk) é un parámetro de Lagrange, ha b es el vector definido entre posiciones ua y ub , ha é el vector definido entre posiciones ua y u, CI(ha b ; zk) é la autocovariância definida por ha b y CI(ha ; zk) es a autocovariância definida por ha . As autocovariâncias son determinadas por el modelo de variografia teórico definido por el conjunto I cuando z = zk.
A krigeagen por indicación, simples ou ordináría, fornece, para cada valor k de corte, una estimactiva que es también la melhor estimactiva mínima quadrática de la esperança condicional de la VA I(u; zk). Utilizando esta propriedade puede-se calcular estimactivas de los valores de la fdc de Z(u) para vários valores de zk, pertencentes ao domínio de Z(u). El conjunto de los valores estimados para de las fdc’s de Z(u), nos valores de corte, é considerado una aproximación discretizada de la fdc real de Z(u). Quanto maior la quantidade de valores de corte melhor es la aproximación.
A krigeagen por indicación é no paramétrica. No considera neñum tipo de distribución de probabilidade la priori para a variável aleatóría. Ao invés diso, ela posibilita la construción de una aproximación discretizada de la fdc de Z(u). Losvalores de probabilidades discretizados pueden ser usados diretamente para se estimar valores característicos de la distribución, tais como: valor médio, variância, moda, quantis y otro s.
Veja como ejecutar:
Sequencia de Procedimientos en el SPRING
Análisis
Exploratóría
Análisis
Espacial por Semivariograma
Ajuste del Semivariograma
Validación
do Modelo
Krigeagen, Krigeagen
por Indicación el Simulación por
Indicación
Consulte
también:
Variáveis regionalizadas
Variograma
Análisis Espacial en el SPRING
Modelagen Numérica de Terreno
Edición vectoríal